专升本数学严选800题

级数敛散性 · 幂级数 · 函数基础

一、级数敛散性判断（193-206题）

  1. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：发散
    解析：考察通项的极限：$\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n} = \lim_{n\to\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)^n\right]^2 = e^2 \neq 0$。
    由级数收敛的必要条件，通项不趋于0，故级数发散。
  2. $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{2^n}{3^n}$ 的敛散性为：$\underline{\hspace{4em}}$，其和为：$\underline{\hspace{4em}}$。
    答案：收敛，$\frac{4}{3}$
    解析：这是等比级数，公比 $q = \frac{2}{3} < 1$，故收敛。
    首项（从n=2开始）：$a = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$。
    和 $S = \frac{a}{1-q} = \frac{4/9}{1-2/3} = \frac{4/9}{1/3} = \frac{4}{3}$。
  3. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{\sqrt[4]{n^3}}+\frac{1}{2^n}\right)$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：发散
    解析：拆分为两个级数：$\sum\frac{1}{n^{3/4}} + \sum\frac{1}{2^n}$。
    第一个级数是p-级数，$p = \frac{3}{4} < 1$，故发散。
    第二个级数是等比级数，收敛。
    发散+收敛=发散。
  4. 设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\ln(1+2x)}$，则 $a = \underline{\hspace{4em}}$。
    答案：$2$
    解析：左边：$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n} = \frac{1/2}{1-1/2} = 1$。
    右边：利用等价无穷小，$\lim_{x\to 0}\frac{\sin ax}{\ln(1+2x)} = \lim_{x\to 0}\frac{ax}{2x} = \frac{a}{2}$。
    令相等：$\frac{a}{2} = 1$，得 $a = 2$。
  5. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n+1}{1+n^2}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：发散
    解析：当 $n\to\infty$ 时，$\frac{n+1}{1+n^2} \sim \frac{n}{n^2} = \frac{1}{n}$。
    与调和级数比较，$\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)/(1+n^2)}{1/n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n(n+1)}{1+n^2} = 1$。
    调和级数发散，故原级数也发散。
  6. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\sin\frac{1}{2^n}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：收敛
    解析：当 $n\to\infty$ 时，$\sin\frac{1}{2^n} \sim \frac{1}{2^n}$。
    而 $\sum\frac{1}{2^n}$ 是收敛的等比级数。
    由比较判别法的极限形式，原级数收敛。
  7. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n!}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：收敛
    解析：使用比值判别法：
    $\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \lim_{n\to\infty}\frac{2}{n+1} = 0 < 1$。
    故级数收敛。
  8. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n}{2n+1}\right)^n$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：收敛
    解析：使用根值判别法：
    $\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{n}{2n+1} = \frac{1}{2} < 1$。
    故级数收敛。
  9. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}3^n\tan\frac{1}{4^n}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：收敛
    解析：当 $n\to\infty$ 时，$\tan\frac{1}{4^n} \sim \frac{1}{4^n}$。
    $a_n \sim 3^n \cdot \frac{1}{4^n} = \left(\frac{3}{4}\right)^n$。
    等比级数 $\sum(3/4)^n$ 收敛，故原级数收敛。
  10. 级数 $3+\frac{3^2\cdot 2!}{2^2}+\frac{3^3\cdot 3!}{3^3}+\cdots+\frac{3^n\cdot n!}{n^n}+\cdots$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：发散
    解析：通项 $a_n = \frac{3^n \cdot n!}{n^n}$。
    使用比值判别法：$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty}\frac{3^{n+1}(n+1)!}{(n+1)^{n+1}} \cdot \frac{n^n}{3^n n!}$
    $= \lim_{n\to\infty}\frac{3(n+1)n^n}{(n+1)^{n+1}} = \lim_{n\to\infty}\frac{3}{(1+1/n)^n} = \frac{3}{e} > 1$。
    故级数发散。
  11. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n+1}{n}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：发散
    解析：当 $n$ 为奇数时，$(-1)^n+1 = 0$；当 $n$ 为偶数时，$(-1)^n+1 = 2$。
    级数可写为：$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2}{2k} = \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}$，即调和级数。
    故级数发散。
  12. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{\ln(1+2n)}$ 的敛散性为 $\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：条件收敛
    解析：这是交错级数，使用莱布尼茨判别法。
    $\frac{1}{\ln(1+2n)}$ 单调递减且趋于0，故级数收敛。
    但 $\sum\frac{1}{\ln(1+2n)}$ 发散（与 $\sum\frac{1}{n}$ 比较），故为条件收敛。
  13. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\frac{1}{\sqrt{n}}$ $\underline{\hspace{4em}}$（绝对收敛、条件收敛）。
    答案：条件收敛
    解析：交错级数，$\frac{1}{\sqrt{n}}$ 单调递减趋于0，由莱布尼茨判别法，级数收敛。
    但 $\sum\frac{1}{\sqrt{n}}$ 是p-级数，$p=\frac{1}{2}<1$，发散。
    故为条件收敛。
  14. 级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n\sqrt{n}}$ $\underline{\hspace{4em}}$（绝对收敛、条件收敛）。
    答案：绝对收敛
    解析：考察绝对值级数 $\sum\frac{1}{n\sqrt{n}} = \sum\frac{1}{n^{3/2}}$。
    这是p-级数，$p = \frac{3}{2} > 1$，收敛。
    故原级数绝对收敛。

二、幂级数（207-215题）

  1. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 的收敛区间为：$\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：$(-\infty, +\infty)$ 或 $(-\infty, \infty)$
    解析：使用比值法求收敛半径：
    $R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)!}{n!} = \lim_{n\to\infty}(n+1) = +\infty$。
    收敛区间为 $(-\infty, +\infty)$。
  2. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}x^n$ 的收敛半径为 $\underline{\hspace{4em}}$，收敛域为：$\underline{\hspace{4em}}$。
    答案：$1$，$[-1, 1]$
    解析：$R = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_n}{a_{n+1}}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{2n+3}{2n+1} = 1$。
    当 $x=1$ 时，$\sum\frac{(-1)^{n-1}}{2n+1}$ 是交错级数，收敛。
    当 $x=-1$ 时，$\sum\frac{(-1)^{n-1}(-1)^n}{2n+1} = \sum\frac{-1}{2n+1}$，发散。
    收敛域为 $(-1, 1]$。
  3. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{n+2}x^{2n}$ 的收敛域为：$\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：$\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$ 或 $\left[-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}\right]$
    解析：令 $t = x^2$，级数变为 $\sum\frac{2^n}{n+2}t^n$。
    $R_t = \lim_{n\to\infty}\frac{2^n/(n+2)}{2^{n+1}/(n+3)} = \frac{1}{2}$。
    当 $t = \frac{1}{2}$ 时，$\sum\frac{1}{n+2}$ 发散；当 $t = -\frac{1}{2}$ 时（不考虑，因 $t=x^2\geq 0$）。
    $x^2 < \frac{1}{2}$，即 $|x| < \frac{\sqrt{2}}{2}$，收敛域为 $\left[-\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}\right]$。
  4. 设 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x-1)^n$ 的收敛半径为 $2$，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x+1)^n$ 的收敛区间为：$\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：$(-3, 1)$
    解析：收敛半径不变，仍为 $R=2$。
    新级数中心在 $x = -1$。
    收敛区间为 $(-1-2, -1+2) = (-3, 1)$。
  5. 若 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n x^n$ 在 $x=1$ 处条件收敛，则 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}a_n(x+2)^n$ 的收敛区间为：$\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：$(-3, -1)$
    解析：在 $x=1$ 处条件收敛，说明收敛半径 $R = 1$（收敛区间的端点）。
    新级数中心在 $x = -2$。
    收敛区间为 $(-2-1, -2+1) = (-3, -1)$。
  6. 当 $x=2$ 时，$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-1)^n}{2^n \cdot n}$ $\underline{\hspace{4em}}$（收敛、发散）。
    答案：收敛
    解析：当 $x=2$ 时，级数变为 $\sum\frac{1}{2^n \cdot n} \cdot 2^n = \sum\frac{1}{n}$？
    重新计算：$(x-1)^n = (2-1)^n = 1^n = 1$。
    级数变为 $\sum\frac{1}{2^n \cdot n}$，与 $\sum\frac{1}{2^n}$ 比较，收敛。
  7. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$ 的和函数为：$\underline{\hspace{4em}}$；$\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n!}$ 的和为：$\underline{\hspace{4em}}$。
    答案：$e^x - 1$，$\sqrt{e} - 1$（或 $e^{1/2} - 1$）
    解析：$e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = 1 + \sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$。
    故 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n!} = e^x - 1$。
    令 $x = \frac{1}{2}$，得 $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n n!} = e^{1/2} - 1 = \sqrt{e} - 1$。
  8. $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}nx^n$ 在 $(-1,1)$ 内的和函数为：$\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：$\frac{x}{(1-x)^2}$
    解析：已知 $\sum_{n=0}^{\infty}x^n = \frac{1}{1-x}$（$|x|<1$）。
    两边求导：$\sum_{n=1}^{\infty}nx^{n-1} = \frac{1}{(1-x)^2}$。
    乘以 $x$：$\sum_{n=1}^{\infty}nx^n = \frac{x}{(1-x)^2}$。
  9. $f(x) = \frac{1}{5-x}$ 展开为 $x$ 的幂级数：$\underline{\hspace{8em}}$。
    答案：$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{5^{n+1}}$，$|x|<5$（或 $\frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{5}\right)^n$）
    解析：$f(x) = \frac{1}{5-x} = \frac{1}{5}\cdot\frac{1}{1-x/5}$。
    利用 $\frac{1}{1-t} = \sum_{n=0}^{\infty}t^n$（$|t|<1$）。
    $f(x) = \frac{1}{5}\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{x}{5}\right)^n = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{5^{n+1}}$，收敛条件 $|x/5|<1$ 即 $|x|<5$。

三、选择题：函数基础（216-222题）

  1. $y = \sqrt{4-x^2} + \ln(e^x-1)$ 的定义域为（ ）
    A. $[-2,2]$ B. $(0,2]$ C. $[0,2)$ D. $(-2,2)$
    答案：B
    解析：需要满足两个条件：
    (1) $4-x^2 \geq 0 \Rightarrow x^2 \leq 4 \Rightarrow -2 \leq x \leq 2$。
    (2) $e^x - 1 > 0 \Rightarrow e^x > 1 \Rightarrow x > 0$。
    取交集：$0 < x \leq 2$，即 $(0, 2]$。
  2. 下列函数相同的是（ ）
    A. $f(x)=x$；$g(x)=\sqrt{x^2}$ B. $f(x)=(\sqrt{x})^2$；$g(x)=x$ C. $f(x)=e^{\ln x}$；$g(x)=x$ D. $f(x)=\sqrt[3]{x^3}$；$g(x)=x$
    答案：D
    解析：函数相同需定义域和对应关系都相同。
    A. $g(x)=|x|$，与 $f(x)=x$ 不同。
    B. $f(x)$ 定义域 $x\geq 0$，$g(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$，不同。
    C. $f(x)$ 定义域 $x>0$，$g(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$，不同。
    D. $f(x)=x$，定义域均为 $\mathbb{R}$，相同。
  3. 下列函数相同的是（ ）
    A. $f(x)=1$；$g(x)=\frac{x}{x}$ B. $f(x)=1$；$g(x)=\sin^2 x + \cos^2 x$ C. $f(x)=x$；$g(x)=e^{\ln x}$ D. $f(x)=e^{\ln x}$；$g(x)=\ln e^x$
    答案：B
    解析：
    A. $g(x)$ 在 $x=0$ 处无定义，与 $f(x)$ 不同。
    B. $g(x)=\sin^2 x + \cos^2 x = 1 = f(x)$，定义域均为 $\mathbb{R}$，相同。
    C. $g(x)$ 定义域 $x>0$，$f(x)$ 定义域为 $\mathbb{R}$，不同。
    D. $f(x)$ 定义域 $x>0$，$g(x)=x$ 定义域为 $\mathbb{R}$，不同。
  4. 下列计算中，正确的是（ ）
    A. $\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{3}$ B. $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{3}$ C. $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$ D. $\arcsin 1=0$
    答案：C
    解析：
    A. $\arcsin\frac{1}{2}=\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{3}$。
    B. $\arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\pi}{6} \neq \frac{\pi}{3}$。
    C. $\arctan 1=\frac{\pi}{4}$，正确。
    D. $\arcsin 1=\frac{\pi}{2} \neq 0$。
  5. 下列说法中，正确的是（ ）
    A. $\text{sgn } 2 = 2$ B. $y=[x]$ 是周期函数 C. $y=x-[x]$ 是周期函数 D. $y=x-[x]$ 是无界函数
    答案：C
    解析：$[x]$ 表示取整函数（地板函数）。
    A. 符号函数 $\text{sgn } 2 = 1 \neq 2$。
    B. $y=[x]$ 是阶梯函数，不是周期函数。
    C. $y=x-[x]$ 是小数部分函数，周期为1，正确。
    D. $y=x-[x]$ 的值域为 $[0,1)$，是有界函数。
  6. 下列为奇函数的是（ ）
    A. $y=x^2(1-x^2)$ B. $y=3x^2-x^3$ C. $y=\frac{x^2\cos x}{\sin x}|x|$ D. $y=\frac{x^2}{1+\cos x}$
    答案：C
    解析：奇函数满足 $f(-x) = -f(x)$。
    A. $f(-x)=(-x)^2(1-(-x)^2)=x^2(1-x^2)=f(x)$，偶函数。
    B. 非奇非偶（$3x^2$ 偶，$x^3$ 奇）。
    C. $f(-x)=\frac{x^2\cos(-x)}{\sin(-x)}|-x|=-\frac{x^2\cos x}{\sin x}|x|=-f(x)$，奇函数。
    D. $f(-x)=\frac{x^2}{1+\cos(-x)}=\frac{x^2}{1+\cos x}=f(x)$，偶函数。
  7. 下列为偶函数的是（ ）
    A. $f(x)+f(-x)$ B. $f(x)-f(-x)$ C. $\sin(\cot x)$ D. $\tan(\sin x)$
    答案：A
    解析：偶函数满足 $g(-x) = g(x)$。
    A. 令 $g(x)=f(x)+f(-x)$，则 $g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)$，偶函数。
    B. $g(x)=f(x)-f(-x)$，$g(-x)=f(-x)-f(x)=-g(x)$，奇函数。
    C. $\sin(\cot(-x))=\sin(-\cot x)=-\sin(\cot x)$，奇函数。
    D. $\tan(\sin(-x))=\tan(-\sin x)=-\tan(\sin x)$，奇函数。